数学运算通常考查学生对数学基本思维和计算的掌握程度，其中“排列组合”一直都是数量关系中相对较难的一个章节，要想学好排列组合，不仅要掌握排列、组合、分类、分步等基本概念，更要熟悉具体的技巧方法。今天，我们就来一起看一下其中一种比较常用的解题方法，插空法。

　　什么样的题型可以使用插空法呢?我们来看一个例子：

　　【示例】把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?

　　A. 36

　　B. 50

　　C. 100

　　D. 400

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类。

　　第二步，利用每侧柏树“相等”可得，每侧3棵柏树，松树有9-3=6(棵)。根据“不相邻”用插空法，去掉起点和终点，6棵松树之间有5个空，故柏树种植情况有=10(种)。

　　第三步，根据“两侧”植树，可得总的种植方法为10×10=100(种)。

　　因此，选择C选项。

　　由于本题明确要求柏树“不相邻”，可优先排好松树，然后将柏树插入松树形成的空隙中，即可满足题意。此题需要注意，道路的起点与终点两侧种植的都必须是松树，故柏树在插空时，每侧只能选择6棵松树间的5个空，不可插到松树的外侧。

　　除了上述题目，我们在今后做题过程中，遇到什么样特征的题目可以使用插空法解题呢?通常情况下，分为以下三类：

　　①出现要求不相邻、不相连、不连续等标志词;

　　【例】某兴趣组有男女生各5名，他们都准备了表演节目。现在需要选出4名学生各自表演1个节目，这4人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生连续表演节目。那么，不同的节目安排有多少种?

　　A. 1200

　　B. 2400

　　C. 3000

　　D. 3600

　　【答案】B

　　【解析】

　　第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类。

　　第二步，根据不能由男生连续表演节目可采用插空法，先从男生和女生中选取所需要的人数，然后安排女生表演节目，最后将男生的节目插入到女生的节目之间，需要考虑顺序。有以下两种情况：

　　第三步，总安排方式为1200+1200=2400(种)。

　　因此，选择B选项。

　　此题与示例类似，但在解题过程中需考虑分类与分步，当选择了1个男生时，无论如何安排都不会“连续”;当选择了3个男生时，无论如何安排都一定“连续”;当2男2女时，需先安排好女生再将2个男生插到女生排列后形成的空中去，即可满足题意，此时先安排2名女生，可形成3个空。

　　②出现要求至少有2个相邻的标志词;

　　【例】某篮球队12个人的球衣号码是从4到15的自然数，若从中选出3个人参加三对三篮球比赛，则选出的人中至少有两人的球衣号码是相邻自然数的概率为多少?

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本题考查概率问题，属于基本概率，用插空法解题。

　　第二步，要求选出的人中至少有两人相邻的概率，则可用1减去选出的3个人均不相邻的概率。12个人选出3人后剩9个人，可以想象为把选出的3个人插到9个人所形成的10个空中，则这三人必定均不相邻，故三个人均不相邻的概率。

　　第三步，因此至少两个人相邻的概率。

　　因此，选择C选项。

　　此题与示例类似，用插空法解题，但区别在于此题若正面求解则相对情况较多，故可反向思考用总的情况减去“不符合题意”(即3个人的号码均“不相邻”)的情况，此时便转化为了插空法的题目特征，可顺利进行求解。

　　③出现相邻的2个中至少有1个有特殊要求的标志词。

　　【例】某条道路一侧共有20盏路灯。为了节约用电，计划只打开其中的10盏。但为了不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有( )种开灯方案。

　　A. 2 B. 6

　　C. 11 D. 13

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类，用插空法解题。

　　第二步，一侧共20盏灯，打开其中10盏，则熄灭10盏，相邻两盏灯中至少有一盏是打开的，则熄灭的灯不能相邻，将10盏熄灭的灯插到10盏打开的灯形成的11个空中，共有=11(种)开灯方案。

　　因此，选择C选项。

　　这道题目相对较为复杂，虽然也使用到插空法，但解题的难点在于将已知条件转化为我们较为熟悉的语言，相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，即关闭的路灯“不相邻”，只有理解了此题的关键信息才可利用插空法顺利解题。

　　考生可以发现，很多插空法的题目只要能够识别题型，或者能够读懂出题人的意图，那么很多分数都是可以拿到的。但是要想熟练掌握并在考场上灵活运用这种方法还需要大量的题目练习，考生可以在华图在线题库中多多练习以熟练运用。

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