最值问题中，有一种特殊的构造，涉及到两个及以上的集合的最值，如：某兴趣班共有学生45人，其中喜欢音乐、舞蹈、美术的学生分别为36、34、31人，问这三项都喜欢的学生至少有多少人?

　　这道湖北选调的真题中，三个集合分别为喜欢音乐的学生、喜欢舞蹈的学生、喜欢美术的学生，问都喜欢的最少是多少，这种“满足所有集合的最小值”，称之为多集合反向构造问题。

　　这种问题怎么解决呢?我们以这道题为例看一下正反两种思路。

　　第一种反向思路，反向——加和——做差。

　　①先分别反向求出各集合的补集：不喜欢音乐、舞蹈、美术的学生，分别有9、11、14人;

　　②如果这9、11、14人毫无重复，则此时不都喜欢的最多，有9+11+14=34(人);

　　③不都喜欢的最多，那么都喜欢的最少，有45-34=11(人)。

　　这种思路的核心是“让不都喜欢的无任何重复，则不满足要求的最多”。

　　第二种正向思路，集合加和——和-总数×(所需集合个数-1)。

　　①先将喜欢音乐、舞蹈、美术的学生全加和，即喜欢任意科的总人次数有36+34+31=101(人)。

　　②总数45人，假设全部喜欢两科，那喜欢的总人次数中去掉这45×2次，还余下的喜欢的人必然是喜欢三科的，有101-45×2=11(人)。

　　这种思路的核心是“总人次-喜欢人次的极限值，则满足要求的最少”。

　　值得注意的是，在小学奥数中，这一模型叫“容斥极值”，往往使用正向思路的时候居多，导致近几年的公考真题更多使用正向解法。下面让我们从易到难看几道真题。

　　【例1】(2018广东)某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查，在接受调查的1000人中，有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软件，有75%的人使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000人中，使用过全部四款手机软件的至少有( )人。

　　A.120

　　B.250

　　C.380

　　D.430

　　【答案】A

　　【解析】第一步，本题考查最值问题，属于反向构造。

　　第二步，本题使用的多集合反向构造方法是：反向——求和——做差。

　　反向：没使用过甲软件有1-68%=32%;没使用过乙软件的有1-87%=13%;没使用过丙软件的有1-75%=25%，没使用过丁软件的有1-82%=18%;

　　求和：未使用过甲乙丙丁四款软件的人最多有32%+13%+25%+18%=88%;

　　做差：全部四款软件都使用过的最少有1-88%=12%。

　　第三步，四款软件都使用过的人至少为1000×12%=120(人)。

　　因此，选择A选项。

　　这种纯套路的题目现在考查的越来越少，因此同学们还需要掌握正向思路。来看几道难题。

　　【例2】(2018国考)书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。问本次投票的有效率最高可能为多少?

　　A.65%

　　B.70%

　　C.75%

　　D.80%

　　【答案】B

　　【解析】第一步，本题考查最值问题，属于多集合反向构造。

　　第二步，①首先赋值观众100人，那么5幅作品得票数分别是69、63、44、58、56，共290票，即总共有290个投票人次。

　　②假设所有投票观众都投2幅作品，则总人次还多出290-100×2=90人次。

　　③剩余的90人次分到已经投了2次的票上，如果每张再分1次则无效票数90张，有效票10张;如果每张再分2次则无效票数45张，有效票55张;如果每张再分3次则无效票数30张，有效票70张。可知有效率最高是70%。

　　因此，选择B选项。

　　【例3】(2018陕西)观众对五位歌手的歌曲进行投票，每张选票都可以选择五首歌曲中的一首或多首，但只有选择不超过3首歌曲的选票才是有效票，五首歌曲的得票数分别为总票数的82%，73%，69%，51%和45%，那么本次投票的有效率最高可能为：

　　A.95%

　　B.90%

　　C.85%

　　D.80%

　　E.75%

　　F.70%

　　G.65%

　　H.60%

　　【答案】B

　　【解析】第一步，本题考查最值问题，属于多集合反向构造。

　　第二步，①赋值共有100人进行投票，则一共投票82+73+69+51+45=320(票)。即总共有320个投票人次。

　　②假设所有投票观众都投3位歌手，则总人次还多出320-100×3=20人次(票)。

　　③剩余的20人次分到已经投了3次的票上，如果每张再分1次则无效票数20张，有效票80张;如果每张再分2次则无效票数10张，有效票90张。有效率最高为90%。

　　因此，选择B选项。

　　通过这两道类似的题目可以发现，这一类多集合反向构造问题，题目考查难度增大，一味背诵“套路”无济于事，因此要理解多集合反向构造的两种思路，尤其是接触的少的正向思路，一定要理解基础逻辑，多多练习!

　　祝大家攻坚克难、金榜题名!

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