容斥原理是历年公务员考试中比较喜欢出的一种题型，考查频率高，题目难度适中，是广大考生在数量关系模块拿分的一种题型。容斥原理主要会涉及到两种题型，分别是两集合容斥原理和三集合容斥原理，下面我们分别来讲一下：
两集合容斥原理：
如果题目涉及的是这样五个量：满足条件A的数目;满足条件B的数目;同时满足条件A和B的数目;条件A、B都不满足的数目;总数。那么选用“两集合标准型”的标准公式：满足条件的个数=满足条件A的+满足条件B的-AB都满足的=总数=都不满足来作答。
三集合容斥原理：
如果题目涉及分别满足A、B、C的数目;同时满足AB的数目;同时满足BC的数目;同时满足AC的数目，同时满足ABC的数目;都不满足的数目;总数，那么我们可以使用三集合标准型公式：满足条件的个数=满足一个条件的-同时满足两个条件的+三个条件都满足的=总数-都不满足来作答
如果题目涉及满足A、B、C的数目;只满足AB的数目;只满足BC的数目;只满足AC的数目，同时满足ABC的数目;都不满足的数目;总数，那么我们可以使用三集合非标准型公式：满足条件的个数=满足一个条件的-只满足两个条件的-2×三个条件都满足的=总数-都不满足来作答
【例1】(2020河南)学校有300个学生选择参加地理兴趣小组, 生物兴趣小组或者两个小组同时参加。如果80%学生参加地理兴趣小组, 50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少?
A. 240
B. 150
C. 90
D. 60
【答案】C
【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用公式法解题。
第二步，共两个兴趣小组，其中80%的学生参加地理兴趣小组、50%的学生参加生物兴趣小组，根据两集合容斥原理公式：满足条件1的个数+满足条件2的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数，设同时参加两个兴趣小组的学生占比为x，则有80%+50%-x=100%-0，解得x=30%，那么同时参加两个兴趣小组的共有300×30%=90(人)。
因此，选择C选项。
【例2】(2018陕西)有关部门对120种抽样食品进行化验分析, 结果显示, 抗氧化剂达标的有68 种, 防腐剂达标的有77 种, 漂白剂达标的有59 种, 抗氧化剂和防腐剂都达标的有54 种, 防腐剂和漂白剂都达标的有43 种, 抗氧化剂和漂白剂都达标的有35 种, 三种食品添加剂都达标的有30 种, 那么三种食品添加剂都不达标的有多少种?
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
【答案】C
【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。
第二步，按照三集合容斥标准型公式，直接设三种食品添加剂都不达标的为x种，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18(可用尾数法计算)。
因此，选择C选项。
【例3】(2019新疆)某机关开展红色教育月活动, 三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有139 人, 有42 人报名参加第一场讲座, 51 人报名参加第二场讲座, 88 人报名参加第三场讲座, 三场讲座都报名的有12 人, 只报名参加两场讲座的有30 人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人?
A. 12
B. 14
C. 24
D. 28
【答案】A
【解析】第一步，本题考查容斥原理，用公式法解题。
第二步，设没有报名参加其中任何一场讲座的有x人。根据三集合非标准型容斥原理公式，可列方程42+51+88-30-2×12=139-x，解得x=12。(或者使用尾数法解题)
因此，选择A选项。
容斥原理公式主要有两集合公式，三集合标准公式，三集合非标准公式三个。难度比较小，是拿分题，相信同学们肯定能够轻松应对
祝大家攻坚克难、金榜题名!
