7.堆 (Heap)

　　在计算机科学中，堆是一种特殊的树形数据结构，每个结点都有一个值。通常我们所说的堆的数据结构，是指二叉堆。堆的特点是根结点的值最小(或最大)，且根结点的两个子树也是一个堆。

　　例程

　　为将元素X插入堆中，找到空闲位置，建立一个空穴，若满足堆序性(英文：heap order)，则插入完成;否则将父节点元素装入空穴，删除该父节点元素，完成空穴上移。直至满足堆序性。这种策略叫做上滤(percolate up)。

　　void Insert( ElementType X, PriorityQueue H ){ int i; if( IsFull(H) ) { printf( "Queue is full.\n" ); return; } for( i = ++H->Size; H->Element[i/2] > X; i /= 2 ) H->Elements[i] = H->Elements[i/2]; H->Elements[i] = X;}

　　以上是插入到一个二叉堆的过程。

　　DeleteMin，删除最小元，即二叉树的根或父节点。删除该节点元素后，队列最后一个元素必须移动到堆得某个位置，使得堆仍然满足堆序性质。这种向下替换元素的过程叫作下滤。

　　ElementType DeleteMin( PriorityQueue H ){ int i, Child; ElementType MinElement, LastElement; if( IsEmpty( H ) ) { printf( "Queue is empty.\n" ); return H->Elements[0]; } MinElement = H->Elements[1]; LastElement = H->Elements[H->Size--]; for( i = 1; i*2 <= H->Size; i = Child ) { /* Find smaller child. */ Child = i*2; if( Child != H->Size && H->Elements[Child+1] < H->Elements[Child] ) Child++; /* Percolate one level. */ if( LastElement > H->Elements[Child] ) H->Elements[i] = H->Elements[Child]; else break; } H->Elements[i] = LastElement; return MinElement;}

　　7.算法设计的分析技术

　　算法是对问题求解过程的准确描述，由有限条指令组成，这些指令能在有限时间内执行完毕并产生确定性的输出。

　　进行算法的时间复杂度分析，就是求其T(n)，并用O、Ω或是Θ以尽可能简单的形式进行表示。

　　理想情况下，希望能够使用Θ表示算法的时间复杂性。退而求其次，可以使用O或是Ω。

　　使用O时，希望估计的上界的阶越小越好。

　　使用Ω时，希望估计的下界的阶越大越好。

　　树的高度为ëlognû,所以将一个元素插入大小为n的堆所需要的时间是O(logn).

　　delete(H,i) 所需要的时间是O(logn).

　　make-heap(A): 从数组A创建堆

　　方法1：从一个空堆开始，逐步插入A中的每个元素，直到A中所有元素都被转移到堆中。

　　时间复杂度为O(nlogn).

　　方法2：

　　MAKEHEAP(创建堆)

　　输入：数组A[1…n]

　　输出：将A[1…n]转换成堆

　　1. fori← ën/2û downto 1

　　2. Sift-down(A,i){使以A[i]为根节点的子树调整成为堆，故调用down过程}

　　3. endfor

　　时间复杂度为O(n).

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